Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Modelleme Süreçleri: Kaplumbağa Paradoksu Örneği

Murat Duran; Muhammet Doruk; Abdullah Kaplan

doi:10.30703/cije.321415

Mathematical Modeling Processes of Mathematics Teacher Candidates: The Example of Tortoise Paradox

Yıl 2016, Cilt: 5 Sayı: 4, 55 - 71, 01.12.2016

Murat Duran , Muhammet Doruk , Abdullah Kaplan

https://doi.org/10.30703/cije.321415

Cited By: 9

Öz

The aim of this research is to determine the current models for geometric series
produced by the middle school teacher candidates and classify these models. A case
study of the qualitative research method was adopted in this research. This research
was conducted with final year pre-service mathematics teachers studying
elementary mathematics (n=41). This research applied at a state university in the
large-scaled city of Eastern Anatolia Region of Turkey was carried out in the fall
semester of 2013-2014 academic years. Data collection tool of the research is the
paradox named “Tortoise Paradox” in the literature posed by the Greek
Mathematician Zeno. The answers obtained from the detailed modeling examples
of teacher candidates were examined with the descriptive analysis. According to the
results of the research, it is seemed that teacher candidates have difficulty in drawing
appropriate mathematical model for tortoise paradox. Also, it has been found that
these difficulties have increased even more. Teacher candidates showed inadequate
approach on the steps named “interpretation the results in a real situation” and
“solution verification” among the modeling steps. Also, teacher candidates have
used the most algebraic and visual models in the modeling process. But, it has been
determined that very few of the mathematical models produced by teacher
candidates are compatible with the logic of the problem.

Anahtar Kelimeler

: Model, Modeling, Tortoise Paradox

Kaynakça

Alcock, L., & Simpson, A. (2004). Convergence of sequences and series: interactions between visual reasoning and the learner’s beliefs about their own role. Educational Studies in Mathematics, 57, 1-32.
Berry, J., & Houston, K. (1995). Mathematical Modelling. Bristol: J. W. Arrowsmith Ltd.
Biber, M., & Başer, N. (2012). Probleme dayalı öğrenme sürecine yönelik nitel bir değerlendirme. Hasan Ali Yücel Eğitim Fakültesi Dergisi, 17(1), 12-33.
Blomhøj, M., & Jensen, T.H. (2007). What’s all the fuss about competencies? Experiencs with using a competence perspective on mathematics education to develop the teaching of mathematical modelling. In W. Blum, P.L. Galbraith, H.W. Henn & M. Niss (Eds.),
Modelling and Applications in Mathematics Education (pp. 45-56). New York: Springer.
Blomhøj, M., & Kjeldsen, T.H. (2006).Teaching mathematical modelling through project workExperiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 163-177.
Blum, W. (2002). ICMI study 14: applications and modelling in mathematics educationdiscussion document. Educational Studies in Mathematics, 51, 149-171.
Blum, W., & Borromeo-Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: can it be taught and learnt?.Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45-58.
Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling, applications and links to other subjects-state, trends and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22, 37-68.
Borromeo-Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 86-95.
Borromeo-Ferri, R., & Blum, W. (2010). Mathematical modelling in teacher education experiences from a modelling seminar. In M. Blomhøj (Eds.), Proceedings of the 6th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 6), France, 11, 2046- 2055.
Bukova Güzel, E., & Uğurel, I. (2010). Matematik öğretmen adaylarının analiz dersi akademik başarıları ile matematiksel modelleme yaklaşımları arasındaki ilişki. Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 29(1), 69-90.
Chinnappan, M. (2010). Cognitive load and modelling of an algebra problem. Mathematics Education Research Journal, 22(2), 8-23.
Çelikkol, Ö. (2016). 7.sınıf öğrencilerine cebirsel sözel problemlerde matematiksel modelleme uygulaması: bir eylem araştırması. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Osmangazi Üniversitesi, Eskişehir, Türkiye.
Çiltaş, A. (2011). Dizi ve seriler konusunun matematiksel modelleme yoluyla öğretiminin ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğrenme ve modelleme becerileri üzerine etkisi. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
Çiltaş, A. (2012). The effect of the mathematical modelling method on the level of creative thinking. The New Educational Review, 30(4), 103-114.
Çiltaş, A., & Işık, A. (2013). Matematiksel modelleme yoluyla öğretimin ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme becerileri üzerine etkisi. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 13(2), 1177-1194.
Çiltaş, A., & Yılmaz, K. (2013). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının teoremlerin ifadeleri için kurmuş oldukları matematiksel modeller. Eğitim ve Öğretim Araştırmaları Dergisi, 2(2), 107-114.
Davis, R., & Vinner, S. (1986). The notion of limit: some seemingly unavoidable misconception stages. Journal of Mathematical Behavior, 5, 281-303.
Deniz, D. (2014). Ortaöğretim matematik öğretmenlerinin matematiksel modelleme yöntemine uygun etkinlik oluşturabilme ve uygulayabilme yeterlikleri. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
English, D.Y. (2010). Young children’s early modelling with data. Mathematics Education Research Journal, 22(2), 24-47.
English, L.D., & Watters, J. (2004). Mathematical modelling with young children. 28th Conference of the IGPME, 2, 335-342.
Eraslan, A. (2011). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri ve bunların matematik öğrenimine etkisi hakkındaki görüşleri. İlköğretim Online, 10(1), 364-377.
Eraslan, A. (2012). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri üzerinde düşünme süreçleri. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 12(4), 2953-2968.
Eraslan, A., & Kant, S. (2015). Modeling processes of 4th-year middle-school students and the difficulties encountered. Educational and Sciences:Theory and Practice, 15(3), 809-824.
Frejd, P. (2012). Teacher’s conceptions of mathematical modelling at swedish upper secondary school. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(5), 17-40.
Harrison, A.G. (2001). How do teachers and textbook writers model scientific ideas for students. Research in Science Education, 31, 401-435.
Hıdıroğlu, Ç.N., Tekin Dede, A., Kula, S., & Bukova Güzel, E. (2014). Öğrencilerin kuyruklu yıldız problemi’ne ilişkin çözüm yaklaşımlarının matematiksel modelleme süreci çerçevesinde incelenmesi. Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 31, 1- 17.
Huggett, N. (2010). Zeno’s paradoxes. Stanford University, CA: Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Ji, X. (2012). A quasi-experimental study of high school students’ mathematical modelling competence. Paper Presented at the 12th International Congress on Mathematics Education, Seoul, South Korea.
Kapur, J.N. (1982). The art of teaching the art of mathematical modeling. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 13(2), 185-192. Kertil, M. (2008). Matematik öğretmen adaylarının problem çözme becerilerinin modelleme sürecinde incelenmesi. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Marmara Üniversitesi, İstanbul, Türkiye.
Kim, S.H., & Kim, S. (2010). The effects of mathematical modeling on creative production ability and self-directed learning attitude. Asia Pasific Education Review, 11, 109-120.
Lesh, R., & Doerr, H.M. (2003). Foundations of models and modeling perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.,), Beyond constructivism: Models and modelling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching(pp. 3-33). NJ. Mahwah, Lawrence Erlbaum Associates.
Lesh, R., & Harel, G. (2003). Problem solving, modeling, and local conception development. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 5(2/3), 157-190.
Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A., & Post, T. (2000). Principles for developing thoughtrevealing activities for students and teachers. In R. Lesh & A. Kelly (Eds.), Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education (pp. 591-645). Hillsdale: Erlbaum.
Lingefjärd, T. (2006). Faces of mathematical modeling. Zentralblatt für Didaktik der MathematikZDM,38(2), 96-112.
Maaβ, K. (2006). What are modelling competencies?.Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 113-142.
Meyer, W.J. (1984). Concepts of mathematical modelling. New York:McGraw-Hill. Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2013). Ortaokul matematik dersi (5, 6, 7 ve 8. sınıflar) öğretim programı. Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü Basım Evi.
National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston: NCTM Publishing.
Nesin, A. (2003). Dikkat paradoks var!: Zenon’un paradoksları. Matematik Dünyası, 89-91.
Niss, M. (1987). Applications and modelling in the mathematics curriculum - state and trends. International Journal for Mathematical Education in Science and Technology, 18, 487-505.
Özaltun, A., Hıdıroğlu, Ç.N., Kula, S., & Bukova Güzel, E. (2013). Matematik öğretmeni adaylarının modelleme sürecinde kullandıkları gösterim şekilleri. Türk Bilgisayar ve
Matematik Eğitimi Dergisi, 4(2), 66-88.
Özturan Sağırlı, M. (2010). Türev konusunda matematiksel modelleme yönteminin ortaöğretim öğrencilerinin akademik başarıları ve öz-düzenleme becerilerine etkisi. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
Peter Koop, A. (2004). Fermi problems in primary mathematics classrooms: pupils’ interactive modelling processes. Proceedings of the 27th Annual Conference of the MERGA. Queensland, Australia.
Sekerak, J. (2010). Phases of mathematical modelling and competence of high school students. The Teaching of Mathematics, 13(2), 105-112.
Siller, H.S., & Kuntze, S. (2011). Modelling as a big idea in mathematics: knowledge and views of pre-service and in-service teachers. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(6), 33-39.
Simon, M., & Blume, G.W. (1994). Mathematical modelling as a conponent of understanding ratio-as measure: a study of prospective elementary teachers. The Journal of Mathematical Behavior, 13(2), 183-197.
Stillman, G. (2012). Applications and modelling research in secondary classrooms: what have we learnt? Paper Presented at the 12th International Congress on Mathematics Education. Seoul, South Korea.
Tekin Dede, A., & Yılmaz, S. (2013). İlkoğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme yeterliliklerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 4(3), 185-206.
Verschaffel, L., De Corte, E., & Borghart, I. (1997). Pre-service teachers’ conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems. Learning and Instruction, 7(4), 339-359.
Yıldırım, A., & Şimşek, H. (2008). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri (6.Basım). Ankara: Seçkin Yayıncılık.
Yin, R.K. (1994). Case study research: design and methods (2nd Edition). Beverly Hills, CA: Sage Publication.

Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Modelleme Süreçleri: Kaplumbağa Paradoksu Örneği

Yıl 2016, Cilt: 5 Sayı: 4, 55 - 71, 01.12.2016

Murat Duran , Muhammet Doruk , Abdullah Kaplan

https://doi.org/10.30703/cije.321415

Cited By: 9

Öz

Bu araştırmanın amacı, ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme süreçlerini ortaya çıkarmaktır. Nitel araştırma yöntemlerinden özel durum çalışmasının benimsendiği bu araştırma, ilköğretim matematik öğretmenliği bölümü son sınıfında öğrenim gören öğretmen adaylarıyla yürütülmüştür (n=41). Araştırma Doğu Anadolu Bölgesi’nde yer alan bir ildeki devlet üniversitesinde 2013-2014 öğretim yılının güz döneminde gerçekleştirilmiştir. Araştırmanın verileri öğretmen adaylarının, modelleme problemi olarak tasarlanan yunan matematikçi Zenon’un ortaya attığı “Kaplumbağa Paradoksu” isimli paradoksa yönelik yaptıkları çözümlerden elde edilmiştir. Öğretmen adaylarından elde edilen veriler betimsel analiz yöntemiyle çözümlenmiştir. Araştırmanın sonucunda öğretmen adaylarının modelleme sürecinin basamaklarındaki yeterlikleri yerine getirmede güçlük yaşadıkları ve bu güçlüklerin ilerleyen basamaklarda daha da arttığı tespit edilmiştir. Özellikle öğretmen adaylarının modelleme basamaklarından sonucu yorumlama ve doğrulama başmaklarında yetersiz kaldıkları ortaya çıkmıştır. Ayrıca öğretmen adaylarının ürettikleri matematiksel modellerin en çok şekilsel ve grafiksel özellikte oldukları fakat öğretmen adayları tarafından üretilen matematiksel modellerin çok azının problemin mantığı ile uyumlu olduğu ortaya çıkmıştır.

Anahtar Kelimeler

Model, Modelleme, Kaplumbağa paradoksu

Kaynakça

Alcock, L., & Simpson, A. (2004). Convergence of sequences and series: interactions between visual reasoning and the learner’s beliefs about their own role. Educational Studies in Mathematics, 57, 1-32.
Berry, J., & Houston, K. (1995). Mathematical Modelling. Bristol: J. W. Arrowsmith Ltd.
Biber, M., & Başer, N. (2012). Probleme dayalı öğrenme sürecine yönelik nitel bir değerlendirme. Hasan Ali Yücel Eğitim Fakültesi Dergisi, 17(1), 12-33.
Blomhøj, M., & Jensen, T.H. (2007). What’s all the fuss about competencies? Experiencs with using a competence perspective on mathematics education to develop the teaching of mathematical modelling. In W. Blum, P.L. Galbraith, H.W. Henn & M. Niss (Eds.),
Modelling and Applications in Mathematics Education (pp. 45-56). New York: Springer.
Blomhøj, M., & Kjeldsen, T.H. (2006).Teaching mathematical modelling through project workExperiences from an in-service course for upper secondary teachers. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 163-177.
Blum, W. (2002). ICMI study 14: applications and modelling in mathematics educationdiscussion document. Educational Studies in Mathematics, 51, 149-171.
Blum, W., & Borromeo-Ferri, R. (2009). Mathematical modelling: can it be taught and learnt?.Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(1), 45-58.
Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modelling, applications and links to other subjects-state, trends and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22, 37-68.
Borromeo-Ferri, R. (2006). Theoretical and empirical differentiations of phases in the modelling process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 86-95.
Borromeo-Ferri, R., & Blum, W. (2010). Mathematical modelling in teacher education experiences from a modelling seminar. In M. Blomhøj (Eds.), Proceedings of the 6th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME 6), France, 11, 2046- 2055.
Bukova Güzel, E., & Uğurel, I. (2010). Matematik öğretmen adaylarının analiz dersi akademik başarıları ile matematiksel modelleme yaklaşımları arasındaki ilişki. Ondokuz Mayıs Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 29(1), 69-90.
Chinnappan, M. (2010). Cognitive load and modelling of an algebra problem. Mathematics Education Research Journal, 22(2), 8-23.
Çelikkol, Ö. (2016). 7.sınıf öğrencilerine cebirsel sözel problemlerde matematiksel modelleme uygulaması: bir eylem araştırması. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Osmangazi Üniversitesi, Eskişehir, Türkiye.
Çiltaş, A. (2011). Dizi ve seriler konusunun matematiksel modelleme yoluyla öğretiminin ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğrenme ve modelleme becerileri üzerine etkisi. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
Çiltaş, A. (2012). The effect of the mathematical modelling method on the level of creative thinking. The New Educational Review, 30(4), 103-114.
Çiltaş, A., & Işık, A. (2013). Matematiksel modelleme yoluyla öğretimin ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme becerileri üzerine etkisi. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 13(2), 1177-1194.
Çiltaş, A., & Yılmaz, K. (2013). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının teoremlerin ifadeleri için kurmuş oldukları matematiksel modeller. Eğitim ve Öğretim Araştırmaları Dergisi, 2(2), 107-114.
Davis, R., & Vinner, S. (1986). The notion of limit: some seemingly unavoidable misconception stages. Journal of Mathematical Behavior, 5, 281-303.
Deniz, D. (2014). Ortaöğretim matematik öğretmenlerinin matematiksel modelleme yöntemine uygun etkinlik oluşturabilme ve uygulayabilme yeterlikleri. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
English, D.Y. (2010). Young children’s early modelling with data. Mathematics Education Research Journal, 22(2), 24-47.
English, L.D., & Watters, J. (2004). Mathematical modelling with young children. 28th Conference of the IGPME, 2, 335-342.
Eraslan, A. (2011). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri ve bunların matematik öğrenimine etkisi hakkındaki görüşleri. İlköğretim Online, 10(1), 364-377.
Eraslan, A. (2012). İlköğretim matematik öğretmen adaylarının model oluşturma etkinlikleri üzerinde düşünme süreçleri. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 12(4), 2953-2968.
Eraslan, A., & Kant, S. (2015). Modeling processes of 4th-year middle-school students and the difficulties encountered. Educational and Sciences:Theory and Practice, 15(3), 809-824.
Frejd, P. (2012). Teacher’s conceptions of mathematical modelling at swedish upper secondary school. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(5), 17-40.
Harrison, A.G. (2001). How do teachers and textbook writers model scientific ideas for students. Research in Science Education, 31, 401-435.
Hıdıroğlu, Ç.N., Tekin Dede, A., Kula, S., & Bukova Güzel, E. (2014). Öğrencilerin kuyruklu yıldız problemi’ne ilişkin çözüm yaklaşımlarının matematiksel modelleme süreci çerçevesinde incelenmesi. Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 31, 1- 17.
Huggett, N. (2010). Zeno’s paradoxes. Stanford University, CA: Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Ji, X. (2012). A quasi-experimental study of high school students’ mathematical modelling competence. Paper Presented at the 12th International Congress on Mathematics Education, Seoul, South Korea.
Kapur, J.N. (1982). The art of teaching the art of mathematical modeling. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 13(2), 185-192. Kertil, M. (2008). Matematik öğretmen adaylarının problem çözme becerilerinin modelleme sürecinde incelenmesi. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Marmara Üniversitesi, İstanbul, Türkiye.
Kim, S.H., & Kim, S. (2010). The effects of mathematical modeling on creative production ability and self-directed learning attitude. Asia Pasific Education Review, 11, 109-120.
Lesh, R., & Doerr, H.M. (2003). Foundations of models and modeling perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.,), Beyond constructivism: Models and modelling perspectives on mathematics problem solving, learning and teaching(pp. 3-33). NJ. Mahwah, Lawrence Erlbaum Associates.
Lesh, R., & Harel, G. (2003). Problem solving, modeling, and local conception development. Mathematical Thinking and Learning: An International Journal, 5(2/3), 157-190.
Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A., & Post, T. (2000). Principles for developing thoughtrevealing activities for students and teachers. In R. Lesh & A. Kelly (Eds.), Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education (pp. 591-645). Hillsdale: Erlbaum.
Lingefjärd, T. (2006). Faces of mathematical modeling. Zentralblatt für Didaktik der MathematikZDM,38(2), 96-112.
Maaβ, K. (2006). What are modelling competencies?.Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 38(2), 113-142.
Meyer, W.J. (1984). Concepts of mathematical modelling. New York:McGraw-Hill. Milli Eğitim Bakanlığı [MEB]. (2013). Ortaokul matematik dersi (5, 6, 7 ve 8. sınıflar) öğretim programı. Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü Basım Evi.
National Council of Teachers of Mathematics [NCTM]. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston: NCTM Publishing.
Nesin, A. (2003). Dikkat paradoks var!: Zenon’un paradoksları. Matematik Dünyası, 89-91.
Niss, M. (1987). Applications and modelling in the mathematics curriculum - state and trends. International Journal for Mathematical Education in Science and Technology, 18, 487-505.
Özaltun, A., Hıdıroğlu, Ç.N., Kula, S., & Bukova Güzel, E. (2013). Matematik öğretmeni adaylarının modelleme sürecinde kullandıkları gösterim şekilleri. Türk Bilgisayar ve
Matematik Eğitimi Dergisi, 4(2), 66-88.
Özturan Sağırlı, M. (2010). Türev konusunda matematiksel modelleme yönteminin ortaöğretim öğrencilerinin akademik başarıları ve öz-düzenleme becerilerine etkisi. Yayınlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, Türkiye.
Peter Koop, A. (2004). Fermi problems in primary mathematics classrooms: pupils’ interactive modelling processes. Proceedings of the 27th Annual Conference of the MERGA. Queensland, Australia.
Sekerak, J. (2010). Phases of mathematical modelling and competence of high school students. The Teaching of Mathematics, 13(2), 105-112.
Siller, H.S., & Kuntze, S. (2011). Modelling as a big idea in mathematics: knowledge and views of pre-service and in-service teachers. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(6), 33-39.
Simon, M., & Blume, G.W. (1994). Mathematical modelling as a conponent of understanding ratio-as measure: a study of prospective elementary teachers. The Journal of Mathematical Behavior, 13(2), 183-197.
Stillman, G. (2012). Applications and modelling research in secondary classrooms: what have we learnt? Paper Presented at the 12th International Congress on Mathematics Education. Seoul, South Korea.
Tekin Dede, A., & Yılmaz, S. (2013). İlkoğretim matematik öğretmeni adaylarının modelleme yeterliliklerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 4(3), 185-206.
Verschaffel, L., De Corte, E., & Borghart, I. (1997). Pre-service teachers’ conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems. Learning and Instruction, 7(4), 339-359.
Yıldırım, A., & Şimşek, H. (2008). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri (6.Basım). Ankara: Seçkin Yayıncılık.
Yin, R.K. (1994). Case study research: design and methods (2nd Edition). Beverly Hills, CA: Sage Publication.

Toplam 53 adet kaynakça vardır.

Ayrıntılar

Diğer ID	JA56HB45SC
Bölüm	Articles
Yazarlar	Murat Duran Muhammet Doruk Abdullah Kaplan
Yayımlanma Tarihi	1 Aralık 2016
Yayımlandığı Sayı	Yıl 2016Cilt: 5 Sayı: 4

Kaynak Göster

APA	Duran, M., Doruk, M., & Kaplan, A. (2016). Matematik Öğretmeni Adaylarının Matematiksel Modelleme Süreçleri: Kaplumbağa Paradoksu Örneği. Cumhuriyet Uluslararası Eğitim Dergisi, 5(4), 55-71. https://doi.org/10.30703/cije.321415