Determining the Epistemological Obstacles Regarding the Concepts of Infinity, Undefined and Uncertainty
Abstract
In this study, the answers given to the infinite, indefinite and undefined operations and the definitions of these concepts were examined together. By this way, the epistemological obstacles of these concepts were determined. In this context, epistemological obstacles were determined based on the perceptions of the mentioned concepts of the mathematics’ students studying at the faculty of education and the faculty of science. The design of this study is basic qualitative research. The study group consists of 71 students studying at the faculty of education and the faculty of science. The data of the study were obtained by means of a two-part test prepared by the researchers. Data were analysed using descriptive analysis technique in order to identify the epistemological obstacles related to the concepts of infinity, undefined and uncertainty. As a result of the study, it was seen that the students' primary intuition, which they gained through their daily life experiences, did not change their perception of infinity much, despite their undergraduate education. It has been determined that the students confuse the concepts of undefined and indefinite and they think that operations with infinity are indefinite. Considering the development process of concepts in the history of mathematics and the difficulties faced by mathematicians in this process, mathematics students and pre-service teachers can be informed more. For this purpose, the History of Mathematics courses in undergraduate education programs can be presented to students by arranging them to increase their awareness of the development process of concepts and the difficulties experienced. Thus, concepts that took centuries to develop can become facts that students can use in their professional lives, instead of remaining as a hypothetical course content
References
- Angelo, R. W. (2009). Undefined in Philosophy and in Mathematics. 20.06.2021 tarihinde https://www.roangelo.net/logwitt/logwit54.html adresinden erişilmiştir.
- Baştürk, S. (2014). Matematik öğretiminde öğrenci hatasının yeri: Hata ve engel kavramı. Bilim ve Aklın Aydınlığında Eğitim, 14(167), 14-13.
- Brooks, J. & Brooks, M., 2001, “The Case For Constructivist Classrooms, Merril Prentice Hall, Ohio.
- Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
- Brousseau, G., (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics, Çeviren ve Editör: Balacheff, N., Cooper, M., Sutherland, R. ve Warfield, V., Kluwer Academic Publishers, New York.
- Bütün, M., ve Erdoǧan, N. (2020). Matematik öğretmenlerinin öğrencilerin sıfır kavramıyla ilgili anlayışlarına ilişkin bilgilerinin incelenmesi. Cumhuriyet International Journal of Education, 9(3), 961-982.
- Cohen, L., Manion, L. and Morrison, K. (2000). Research Methods in Education, (5th edition). London: Routledge.
- Cornu, B. (1991). Limits. In Tall, D. (ed), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
- Çelik, D. ve Akşan, E. (2013). Matematik öğretmeni adaylarının sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin anlamaları. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 7(1), 166-190. DOI: 10.12973/nefmed158
- Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M.A. (2005). Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity: An Apos-Based Analysis: Part 1. Education Studies Math, 58, 335–359. https://doi.org/10.1007/s10649-005-2531-z
- Fidan, T. ve Öztürk, İ. (2015). Perspectives and expectations of union member and non- union member teachers on teacher unions. Eğitim Bilimleri Araştırmaları Dergisi, 5(2), 191-220.
- Fischbein, D. Tirosh & P. Hess (1979). The Intuition of Infinity. Educational Studies in Mathematics, 10(1), 3-40.
- Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48(2), 309-329.
- Harel, G. (2007). What is mathematics? A pedagogical answer with a particular focus on proving. In Third APEC-Tsukuba International Conference on Innovative Mathematics Teaching and Learning Through Lesson Study, Tokyo, Japan.
- Gerstein, L. J. (2012). Introduction to Mathematical Structures and Proofs. New York: Springer.
- Kanbolat, O. (2010). Bazı matematiksel kavramlarla ilgili epistemolojik engeller (Yüksek Lisans Tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon
- Karakaya, V., ve Sekman, D. (2019). Matematiksel düşüncenin tarihi gelişimi ve eğitimde konumlanması. F. Tanhan (Ed.) Türkiye eğitim vizyonu üzerine değerlendirmeler (s. 35-44). Ankara: Pegem Akademi.
- Karakuş, F. (2017). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğretimsel açıklamalara ilişkin tercihleri: Sıfıra bölme konusu. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 8(3), 352-377.
- Kieren, T. E., and Pirie, S. E. (1991). Recursion and the mathematical experience. In L. Steffe (ed.), The Epistemology of Mathematical Experience, Springer Verlag Psychology Series, New York, pp. 78-101.
- Kolar, V. M. and Čadež, T. H. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Education Studies Math, 80, 389–412.
- Merriam, S. B. (2013). Nitel araştırma desen ve uygulama için bir rehber (Çev. S. Turan). Ankara: Nobel.
- Miles, M, B., and Huberman, A. M. (1994). Qualitative data analysis: An expanded Sourcebook. (2nd ed). Thousand Oaks, CA: Sage. Monaghan
- Moru, E. K. (2006). Epistemological obstacles in coming to understand the limit concept at undergraduate level: A case of the National University of Lesotho (Doctoral dissertation). University of the Western Cape, South Africa.
- Olkun, S. ve Toluk-Uçar, Z. (2004). İlköğretimde etkinlik temelli matematik öğretimi (3. Baskı). Ankara: Anı Yayıncılık.
- Özmantar, M. F. (2013). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali, & H. Akkoç (Edt.), Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri (s.151-180) (3. Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
- Özmantar, M. F. ve Bozkurt, A. (2013). Tanımsızlık ve belirsizlik: kavramsal ve geometrik bir inceleme. İ.Ö. Zembat, M. F. Özmantar, E. Bingölbali, Şandır, H. , & A. Delice (Edt.), Tanımları ve tarihsel gelişimleriyle matematiksel kavramlar (ss. 437-461) (1. Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
- Öztürk, Z. (2018). Cantor ve Hilbert bağlamında sonsuzluk kavramının çözümlenmesi. N. İnönü (Ed.). Uluslararası İstanbul Felsefe Kongresi Bildiri Kitabı içinde s. 111-124. İstanbul: Mantık Derneği Yayınları.
- Pala, O. ve Narlı, S. (2018). Sonsuzluğun Tarihsel Gelişimi ve Öğretimi Üzerine. Apsistek, 1-6. 24.07.2021 tarihinde https://www.academia.edu/37669464/Sonsuzlu%C4%9Fun_Tarihsel_Geli%C5%9Fimi_ve_%C3%96%C4%9Fretimi_%C3%9Czerine adresinden erişilmiştir.
- Pogliani, L., Randic, M., & Trinajstić, N. (1998). Much ado about nothing—an introductive inquiry about zero. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 29(5), 729-744.
- Skemp, R. R., 1971, The Psychology of Learning Mathematics, Penguin Books, Middlesex, England.
- Sırmacı, N., Gökkurt Özdemir, B. (2016). Matematik öğretmenlerinin sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin öğretimsel açıklamaları, Bartın Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 5(3), 788-806
- Singer, F. M. and Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. Journal of Mathematical Behavior 27, 188–205.
- Tsamir, P. and Dreyfus, T. (2002). Comparing infinite sets — a process of abstraction. The case of Ben. Journal of Mathematical Behavior, 21, 1–23.
- Theodoridis, S. (2017). Students’ perception of infinity Perception, obstacles, conception (Master Thesis) University of Agder.
- Tirosh, D. (1991). The role of students’ ıntuitions of ınfinity ın teaching the cantorian theory. Ed. (David Tall). Advanced Mathematical Thinking pp. 199-214
- Ülger, A. (2003). Matematiğin kısa bir tarihi. Matematik Dünyası, 2, s. 49-53.
- Yıldırım, A., ve Şimşek, H. (2006). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri. (6. baskı) Ankara: Seçkin Yayıncılık.
- Young-Ok, K. (2007). Explaining the impossibility of division by zero: approaches of chienes and korean middle school matehamatics teachers. Journal of the Korea society of mathematical education series D: Research in mathematical education, 11(1), 33-51.
Abstract
Bu sonsuz, belirsiz ve tanımsız işlemlere verilen cevapların ve bu kavramlara ait tanımların incelenerek kavramlara dair epistemolojik engellerin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bu bağlamda eğitim fakültesinde ve fen fakültesinde öğrenim gören matematik öğrencilerinin belirtilen kavramlara dair algılarından yola çıkılarak epistemolojik engelleri belirlenmiştir. Bu çalışmanın modeli, temel nitel araştırmadır. Çalışma grubunu Eğitim Fakültesi’nde ve Fen Fakültesi’nde öğrenim görmekte olan 71 öğrenci oluşturmaktadır. Çalışmanın verileri araştırmacılar tarafından hazırlanan ve iki bölümden oluşan test vasıtasıyla elde edilmiştir. Sonsuzluk, tanımsızlık ve belirsizlik kavramlarıyla ilgili epistemolojik engelleri belirlemek amacıyla veriler betimsel analiz tekniği kullanılarak çözümlenmiştir. Çalışma sonucunda öğrencilerin günlük hayat deneyimleri yoluyla edindikleri birincil sezgilerinin lisans eğitimi almalarına rağmen sonsuzluk algılarını çok fazla değiştirmediği görülmüştür. Öğrencilerin tanımsız, belirsiz kavramlarını karıştırdığı ve sonsuzla yapılan işlemlerin belirsiz olduğunu düşündükleri tespit edilmiştir. Matematik tarihinde kavramların gelişim süreci ve bu süreçte matematikçilerin yaşadıkları zorluklar göz önüne alınarak matematik öğrencileri ve öğretmen adayları daha çok bilgilendirilebilirler. Bu amaçla lisans öğretim programlarında olan Matematik Tarihi dersleri, kavramların gelişim süreci ve yaşanan zorluklar hakkında farkındalıklarının artacağı şekilde düzenlenerek öğrencilere sunulabilir. Böylece gelişimleri yüzyıllar alan kavramlar farazi bir ders içeriği olarak kalmak yerine öğrencilerin profesyonel hayatlarında kullanabilecekleri olgular haline gelebilirler
References
- Angelo, R. W. (2009). Undefined in Philosophy and in Mathematics. 20.06.2021 tarihinde https://www.roangelo.net/logwitt/logwit54.html adresinden erişilmiştir.
- Baştürk, S. (2014). Matematik öğretiminde öğrenci hatasının yeri: Hata ve engel kavramı. Bilim ve Aklın Aydınlığında Eğitim, 14(167), 14-13.
- Brooks, J. & Brooks, M., 2001, “The Case For Constructivist Classrooms, Merril Prentice Hall, Ohio.
- Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
- Brousseau, G., (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics, Çeviren ve Editör: Balacheff, N., Cooper, M., Sutherland, R. ve Warfield, V., Kluwer Academic Publishers, New York.
- Bütün, M., ve Erdoǧan, N. (2020). Matematik öğretmenlerinin öğrencilerin sıfır kavramıyla ilgili anlayışlarına ilişkin bilgilerinin incelenmesi. Cumhuriyet International Journal of Education, 9(3), 961-982.
- Cohen, L., Manion, L. and Morrison, K. (2000). Research Methods in Education, (5th edition). London: Routledge.
- Cornu, B. (1991). Limits. In Tall, D. (ed), Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
- Çelik, D. ve Akşan, E. (2013). Matematik öğretmeni adaylarının sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin anlamaları. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 7(1), 166-190. DOI: 10.12973/nefmed158
- Dubinsky, E., Weller, K., Mcdonald, M.A. (2005). Some Historical Issues and Paradoxes Regarding the Concept of Infinity: An Apos-Based Analysis: Part 1. Education Studies Math, 58, 335–359. https://doi.org/10.1007/s10649-005-2531-z
- Fidan, T. ve Öztürk, İ. (2015). Perspectives and expectations of union member and non- union member teachers on teacher unions. Eğitim Bilimleri Araştırmaları Dergisi, 5(2), 191-220.
- Fischbein, D. Tirosh & P. Hess (1979). The Intuition of Infinity. Educational Studies in Mathematics, 10(1), 3-40.
- Fischbein, E. (2001). Tacit models and infinity. Educational Studies in Mathematics, 48(2), 309-329.
- Harel, G. (2007). What is mathematics? A pedagogical answer with a particular focus on proving. In Third APEC-Tsukuba International Conference on Innovative Mathematics Teaching and Learning Through Lesson Study, Tokyo, Japan.
- Gerstein, L. J. (2012). Introduction to Mathematical Structures and Proofs. New York: Springer.
- Kanbolat, O. (2010). Bazı matematiksel kavramlarla ilgili epistemolojik engeller (Yüksek Lisans Tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon
- Karakaya, V., ve Sekman, D. (2019). Matematiksel düşüncenin tarihi gelişimi ve eğitimde konumlanması. F. Tanhan (Ed.) Türkiye eğitim vizyonu üzerine değerlendirmeler (s. 35-44). Ankara: Pegem Akademi.
- Karakuş, F. (2017). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının öğretimsel açıklamalara ilişkin tercihleri: Sıfıra bölme konusu. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 8(3), 352-377.
- Kieren, T. E., and Pirie, S. E. (1991). Recursion and the mathematical experience. In L. Steffe (ed.), The Epistemology of Mathematical Experience, Springer Verlag Psychology Series, New York, pp. 78-101.
- Kolar, V. M. and Čadež, T. H. (2012). Analysis of factors influencing the understanding of the concept of infinity. Education Studies Math, 80, 389–412.
- Merriam, S. B. (2013). Nitel araştırma desen ve uygulama için bir rehber (Çev. S. Turan). Ankara: Nobel.
- Miles, M, B., and Huberman, A. M. (1994). Qualitative data analysis: An expanded Sourcebook. (2nd ed). Thousand Oaks, CA: Sage. Monaghan
- Moru, E. K. (2006). Epistemological obstacles in coming to understand the limit concept at undergraduate level: A case of the National University of Lesotho (Doctoral dissertation). University of the Western Cape, South Africa.
- Olkun, S. ve Toluk-Uçar, Z. (2004). İlköğretimde etkinlik temelli matematik öğretimi (3. Baskı). Ankara: Anı Yayıncılık.
- Özmantar, M. F. (2013). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali, & H. Akkoç (Edt.), Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri (s.151-180) (3. Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
- Özmantar, M. F. ve Bozkurt, A. (2013). Tanımsızlık ve belirsizlik: kavramsal ve geometrik bir inceleme. İ.Ö. Zembat, M. F. Özmantar, E. Bingölbali, Şandır, H. , & A. Delice (Edt.), Tanımları ve tarihsel gelişimleriyle matematiksel kavramlar (ss. 437-461) (1. Baskı). Ankara: Pegem Akademi.
- Öztürk, Z. (2018). Cantor ve Hilbert bağlamında sonsuzluk kavramının çözümlenmesi. N. İnönü (Ed.). Uluslararası İstanbul Felsefe Kongresi Bildiri Kitabı içinde s. 111-124. İstanbul: Mantık Derneği Yayınları.
- Pala, O. ve Narlı, S. (2018). Sonsuzluğun Tarihsel Gelişimi ve Öğretimi Üzerine. Apsistek, 1-6. 24.07.2021 tarihinde https://www.academia.edu/37669464/Sonsuzlu%C4%9Fun_Tarihsel_Geli%C5%9Fimi_ve_%C3%96%C4%9Fretimi_%C3%9Czerine adresinden erişilmiştir.
- Pogliani, L., Randic, M., & Trinajstić, N. (1998). Much ado about nothing—an introductive inquiry about zero. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 29(5), 729-744.
- Skemp, R. R., 1971, The Psychology of Learning Mathematics, Penguin Books, Middlesex, England.
- Sırmacı, N., Gökkurt Özdemir, B. (2016). Matematik öğretmenlerinin sonsuzluk, belirsizlik ve tanımsızlık kavramlarına ilişkin öğretimsel açıklamaları, Bartın Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 5(3), 788-806
- Singer, F. M. and Voica, C. (2008). Between perception and intuition: Learning about infinity. Journal of Mathematical Behavior 27, 188–205.
- Tsamir, P. and Dreyfus, T. (2002). Comparing infinite sets — a process of abstraction. The case of Ben. Journal of Mathematical Behavior, 21, 1–23.
- Theodoridis, S. (2017). Students’ perception of infinity Perception, obstacles, conception (Master Thesis) University of Agder.
- Tirosh, D. (1991). The role of students’ ıntuitions of ınfinity ın teaching the cantorian theory. Ed. (David Tall). Advanced Mathematical Thinking pp. 199-214
- Ülger, A. (2003). Matematiğin kısa bir tarihi. Matematik Dünyası, 2, s. 49-53.
- Yıldırım, A., ve Şimşek, H. (2006). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri. (6. baskı) Ankara: Seçkin Yayıncılık.
- Young-Ok, K. (2007). Explaining the impossibility of division by zero: approaches of chienes and korean middle school matehamatics teachers. Journal of the Korea society of mathematical education series D: Research in mathematical education, 11(1), 33-51.
Details
| Primary Language | Turkish |
|---|---|
| Journal Section | Research Article |
| Authors | |
| Publication Date | June 30, 2022 |
| Published in Issue | Year 2022Volume: 11 Issue: 2 |
